Cadeias de Markov em apoio a Gestão de Riscos

• O que são as Cadeias de Markov?

As Cadeias de Markov são um tipo de processo estocástico amplamente utilizados na modelagem de sistemas complexos que evoluem ao longo do tempo. Elas foram introduzidas pelo matemático russo Andrei Markov no final do século XIX e desde então têm sido aplicadas em uma variedade de campos, desde a física até as finanças.

Uma Cadeia de Markov é uma sequência de eventos aleatórios em que a probabilidade do próximo evento depende apenas do evento atual, e não dos eventos anteriores. Essa propriedade é chamada de “propriedade de Markov” e é a base para a modelagem de processos estocásticos com Cadeias de Markov. Curiosamente, essa propriedade foi percebida por Markov enquanto ele analisava o texto de um poema de Alexander Pushkin em que a frequência das vogais dependia apenas da vogal anterior.

Para compreendermos as Cadeias de Markov, antes devemos compreender do que se tratam processos estocásticos. São modelos matemáticos que descrevem a evolução aleatória de um sistema ao longo do tempo. Um exemplo simples de um processo estocástico é o lançamento de uma moeda. Cada lançamento é um evento aleatório com duas possíveis saídas: “cara” ou “coroa”. A sequência de lançamentos pode ser modelada como uma Cadeia de Markov, em que a probabilidade do próximo evento depende apenas do evento atual. Por exemplo, se a moeda foi lançada duas vezes e obteve “cara” nas duas vezes, a probabilidade de sair “cara” no próximo lançamento é de 50%, independentemente dos resultados anteriores.

• A Cadeia de Markov e seu relacionamento com riscos

As Cadeias de Markov são amplamente utilizadas na gestão de riscos para modelar sistemas complexos e prever comportamentos futuros. A propriedade de Markov é particularmente útil na modelagem de séries temporais financeiras, como preços de ações ou taxas de câmbio. Por exemplo, uma empresa pode usar uma Cadeia de Markov para prever a probabilidade de um determinado preço de ação com base nas informações atuais, permitindo que eles tomem decisões informadas sobre investimentos.

Além disso, as Cadeias de Markov podem ser usadas na gestão de riscos em sistemas complexos, como na manutenção de equipamentos industriais ou na gestão de redes de infraestrutura crítica. Ao modelar o comportamento desses sistemas com Cadeias de Markov, os gestores de riscos podem identificar áreas de risco potencial e tomar medidas preventivas antes que ocorram falhas ou acidentes.

Um exemplo de aplicação das Cadeias de Markov na gestão de riscos é a previsão do tráfego em rodovias. As Cadeias de Markov podem ser usadas para prever a probabilidade de engarrafamentos com base nas condições atuais de tráfego, permitindo que as autoridades tomem medidas preventivas, como a abertura de rotas alternativas ou a implementação de medidas de gerenciamento de tráfego.

• Aplicando a propriedade de Markov para tomada de decisão

Suponha, por exemplo, que uma rodovia possa ter seu fluxo descrito por quatro estados diferentes. Digamos que esses sejam: fluxo livre, fluxo lento, congestionamento e acidente. Cada estado representa uma condição diferente do tráfego e tem uma probabilidade de transição para os outros estados. É importante relembrar que a transição de uma condição para a outra independe dos estados anteriores, ou seja, considera apenas a condição atual e sua probabilidade de transformação.

Para modelar o comportamento do tráfego nesta rodovia, podemos usar uma Cadeia de Markov. Para isso, precisaríamos estabelecer uma matriz de transição. Essa, descreveria a probabilidade de transição de cada estado, em um determinado período. Para esclarecer, vamos supor que a rodovia comece no estado de fluxo livre. Para essa situação, após determinado período, ocorreria a transição para outro estado. Inicialmente em fluxo livre, a rodovia poderia passar a ter um fluxo lento, um congestionamento, um acidente, ou até mesmo se manter em um fluxo livre. Para cada um desses cenários, existiria uma probabilidade.

Para esse exemplo, vamos imaginar que através de um estudo, a concessionária responsável pela rodovia determinou que a cada duas horas ocorre uma transição de estado, e através da coleta de informações definiu a seguinte matriz de transição:

A partir dela, podemos ver a probabilidade de cada estado em transitar entre as condições. Nesse caso, o tráfego lento tem uma probabilidade de 20% de passar a ser tráfego livre, 50% de se manter em tráfego lento, 25% de virar um congestionamento, e 5% de gerar um acidente. Vale sempre lembrar que esses valores são fictícios para acompanharmos o exemplo.

Considerando a matriz e o período de transição determinados pela concessionária, poderíamos usar a propriedade de Markov, para traçar previsões de como a rodovia se comportaria no futuro. Para ilustrar, vamos supor que um gestor gostaria de prever as condições de trânsito da rodovia no horário das 18h, sabendo que as 14h a rodovia se encontrava em fluxo livre.

Para calcular a probabilidade de o tráfego estar em congestionamento às 18h, uma vez que estava livre às 14h, podemos utilizar a matriz de transição fornecida. Como ocorrem transições a cada duas horas, teríamos que fazer duas transições sucessivas. Primeiramente com a informação de que a rodovia estava em tráfego livre, calcularíamos a probabilidade de cada condição para as 16h. Teríamos, então, que multiplicar o vetor coluna correspondente ao estado inicial (livre) pela matriz de transição elevada a potência 1, da seguinte forma:

Dessa forma, podemos concluir que há uma probabilidade de 70% de o tráfego continuar livre às 16h, uma probabilidade de 20% de estar lento, uma probabilidade de 8% de estar congestionado e uma probabilidade de 2% de haver um acidente. No entanto, o problema não acaba aqui, já que essas transições aconteceriam as 16h da tarde. Para encontrarmos a condição as 18h, teríamos que novamente usar a matriz de transição, considerando as probabilidades que encontramos anteriormente.

Para isso, precisamos multiplicar o vetor coluna resultante anterior (correspondente às probabilidades às 16h) pela matriz de transição elevada a potência 1, da seguinte forma:

Dessa forma, obtivemos as seguintes probabilidades para o horário das 18h. Segundo a Cadeia de Markov, existe uma probabilidade de 54% de o tráfego continuar livre, uma probabilidade de 26% de estar lento, uma probabilidade de 16% de estar congestionado e uma probabilidade de 4% de haver um acidente.

Com base nessas probabilidades de transição, os gestores de risco podem prever o comportamento futuro do tráfego e tomar medidas preventivas para evitar acidentes ou congestionamentos. Por exemplo, se a Cadeia de Markov indicar uma alta probabilidade de transição para o estado de congestionamento, as autoridades podem tomar medidas para desviar o tráfego para rotas alternativas ou aumentar a capacidade da rodovia por meio da abertura de faixas adicionais.

• Conclusão

Como observado, as Cadeias de Markov são uma ferramenta poderosa na gestão de riscos, permitindo que os gestores de riscos prevejam comportamentos futuros em sistemas complexos e tomem medidas preventivas antes que ocorram falhas ou acidentes. Graças a propriedade de Markov, temos o potencial de melhorar significativamente a segurança e eficiência de quaisquer sistemas complexos.

O entendimento do conceito e aplicação da propriedade de Markov, pode ser o diferencial para empresas e gestores em tomadas de decisões para quaisquer processos estocásticos. Ao fazer uso do processo, é importante garantir que as informações de entrada que compõe o estado inicial e a matriz de transição estejam adequadas e fidedignas. É importante, portanto, aliar boas técnicas de coleta de dados junto a aplicação das Cadeias de Markov, a fim de obter os melhores resultados.